Các dạng phương trình bậc 4 và cách giải

trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. tuy nhiên trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn dạng ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ trong đó $a,b,c,d$ là các số thực khác không: 1. biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một Số Trường hợp cụ thể 2. pHân tích đa thức thành nhân tử bằng phương phap hệ số bất ịnh 3. công thức nghiệm tổng quát của pHương trình bậc 4 4. phương phap ồ ồ ồ ồ ồ ồ >1. biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể.ví dụ 1. giải phương trình ${left( {{x^2} – a} right) ^2} – 6{x^2} + 4x + 2a = 0$ (1)giải: phương trình (1) được viết thành ${x^4} – 2a{x^2} + {a^2} – 6{x^2} + 4x + 2a = 0$ there are ${x^4} – left( {2a + 6} right){x^2} + 4x + {a^ 2} + 2a = 0$ (2) phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn không đuợc học cách giải. nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng ${a^2} – 2left( {{x^2} – 1} right)a + {x^4} – 6{x^2} + 4x = 0$ (3) và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a. với cách nhìn này, ta tìm được a theo x: ${a_{1,2}} = {x^2} – 1 pm sqrt {{x^4} – 2{x^2} + 1 – x {}^4 + 6{x^2} – 4x} $ $begin{array} = {x^2} – 1 pm sqrt {4{x^2} – 4x + 1} \ = {x ^2} – 1 pm left( {2x – 1} right) \ end{array} $ giải các phương trình bậc hai đối với x ${x^2} + 2x – a – 2 = 0$ (4) và ${x^2} – 2x – a = 0$ (5) ta tìm đuợc các nghiệm (1) theo a. Điều kiện để (4) có nghiệm là $3 + a geqslant 0$ và các nghiệm của (4) là ${x_{1,2}} = – 1 pm sqrt {3 + a} $ Điều kiện để ( 5) có nghiệm là $1 + a geqslant 0$ và các nghiệm của (5) là ${x_{3,4}} = 1 pm sqrt {1 + a} $ví dụ 2. giải phương trình ${x^4} – {x^3} – 5{x^2} + 4x + 4 = 0$ (1)giải: phương trình (1) đuợc viết dưới dạng: $begin{array} {x^4} – {x^3} – {x^2} – left( {4{x^2} – 4x – 4} right) = 0 \ { x^2}left( {{x^2} – x – 1} right) – 4left( {{x^2} – x – 1} right) = 0 \ left( {{x ^2} – 4} right)left( {{x^2} – x – 1} right) = 0 \ end{array} $ vậy (1) có 4 nghiệm là ${x_1} = – 2;{x_2} = 2;{x_3} = frac{{1 – sqrt 5 }}{2};{x_4} = frac{1 + sqrt 5 }}{2}.$

ví dụ 3. giải phương trình $32{x^4} – 48{x^3} – 10{x^2} + 21x + 5 = 0$ (1) giải: ta viết (1) dưới dạng: $2left( {16{x^4} – 24{x^3} + 9{x^2}} right) – 7left( {4 {x^2} – 3x} right) + 5 = 0$ và đặt: $y = 4{x^2} – 3x$ thì (1) được biến đổi thành $2{y^2} – 7y + 5 = 0$ từ đó ${y_1} = 1$ và ${y_2} = frac{5}{2}$ giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thay${y_1} = 1$ và ${y_2} = frac{5}{2}$ vao $y = 4{x^2} – 3x$ ): $4{x^2} – 3x – 1 = 0$ và $8{x^2} – 6x – 5 = 0$ ta sẽ đuợc các nghiệm của (1).ví dụ 4. giải phương trình $2{x^4} + 3{x^3} – 16{x^2} + 3x + 2 = 0$ (1)giải: Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi $frac{e}{a} = {left( {frac {d}{b}} right)^2}$) với phương trình này ta giải như sau: chia hai vế của phương trình cho ${x^2}$ (khác không) thì (1) tương đuơng với $2 {x^2} + 3x – 16 + frac{3}{x} + frac{2}{{{x^2}}} = 0$ there is $2left( {{x^2} + frac {1}{{{x^2}}}} right) + 3le ft( {x + frac{1}{x}} right) – 16 = 0$ Đặt $y = x + frac{1}{x}$ thì${y^2} – 2 = {x^ 2} + frac{1}{{{x^2}}}$ phương trình (1) đuợc biến đổi thành: $2left( {{y^2} – 2} right) + 3y – 16 = 0 $ hay $2{y^2} + 3y – 20 = 0$ phương trình này có nghiệm là ${y_1} = – 4,{y_2} = frac{5}{2}$ vì vậy $x + frac{ 1}{x} = – 4$ và $x + frac{1}{x} = frac{5}{2}$ tức là ${x^2} + 4x + 1 = 0$ và $2{x ^2} – 5x + 2 = 0$ từ đó ta tìm đuợc các nghiệm của (1) là: ${x_{1,2}} = – 2 pm sqrt 3 ,{x_3} = frac {1} {2},{x_4} = 2$. như vậy, với các ví dụ 2.3 và 4 ta giải đuợc phương trình bậc bốn nhờ biết biến ổi sáng tạo vế trai của pHương trình ển tới việc giải các phHh phương tr. phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.ví dụ 5. giải phương trình: ${x^4} + 4{x^3} – 10{ x^2} + 37x – 14 = 0$ (1)giải: ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai ${x^2} + px + q$ và ${x ^2} + rx + s$ , trong đó $p,q,r,s$ là các hệ số nguyên chưa xác định. ta co: ${x^4} + 4{x^3} – 10{x^2} + 37x – 14 = left( {{x^2} + px + q} right)left( {{ x^2} + rx + s} right)$ (2) Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhất thức ta có hệ phåt u $p 4 = -u $pnh 4 \ s + q + pr = – 10 \ ps + qr = 37 \ qs = – 14 \ end{array} right.$ nhờ phương trình cuối cùng của hệ này ta đoán nhận các giá trị nguyên tương ứng có thể lấy đuợc của q và s. thử lần lượt các giá trị của q thì thấy với $q = 2,s = – 7$ phương trình thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phưgin r2 -ơhng $ trì = 37 \ end{array} right.$ mà khử $p$đi thì đuợc $2{r^2} – 37r + 35 = 0$ phương trình này cho nghiệm nguyên của $r $ là 1. nhờ thế ta suy ra $p = – 5$ thay các giá trị $p,q,r,s$ vừa tìm được vào (2) thì có: ${x^4} + 4{x^3 } – 10{x^2 } + 37x – 14 = left( {{x^2} – 5x + 2} right)left( {{x^2} + x – 7} right)$ phương trình (1) ứng với $ left( {{x^2} – 5x + 2} right)left( {{x^2} + x – 7} right) = 0$ giải phương trình tích này ta đuợc các nghiệm sau của (1) : $x = frac{{5 pm sqrt {17} }}{2};x = frac{{ – 1 pm sqrt {29} }}{2}$ lưu ý:

trong một số Truờng hợp ta không thể dùng phương phap này vì nhiều khi việc pHân tích trên không ược như mong mut mumn chẳng hạn khi hệ trên không Cóc Cóc Cóc Cóc Có Cóc Cóc Cóc Cóc Cóc Có Cóc Có Cóc 3. công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4 dụng ý của ta là phân tích đa thức ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ thành hai nhân tử bậc hai dùng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau: $fleft( x right) = {left( {{x^2} + frac{1}{2}ax + frac{1 {2}h} right)^2} + b{x^2} + cx + d – frac{1}{4}{a^2}{x^2} – frac{1}{4 } {h^2} – h{x^2} – frac{1}{2}ahx$ $fleft( x right) = {left( {{x^2} + frac{1} { 2}ax + frac{1}{2}h} right)^2} – left[ {left( {h + frac{1}{4}{a^2} – b} right ) {x^2} + left( {frac{1}{2}ah – c} right)x + left( {frac{1}{4}{h^2} – d} right ) } right]$ (2) tam thức trong dấu móc vuông có dạng: $a{x^2} + bx + c$ $a{x^2} + bx + c$có thể viết dưới dạng: $a { x^2} + bx + c = {left( {px + q} right)^2}$ (3) khi và chỉ khi ${b^2} – 4ac = 0$ there are $4ac – {b ^ 2} = 0$ ta có: $4left( {h + frac{1}{4}{a^2} – b} right)left( {frac{1}{4}{h^ 2 } – d} right) – {left( {frac{1}{2}ah – c} right)^2} = 0$ Đây là phương trình bậc ba đối với $h$ nến phải có ít nhất một nghiệm thực. giả sử nghiệm đó là $h = 1$. (ta có thể dùng công thức biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba của cacđanô (nhà toán học người italy) ${x^3} + p{x^2} + q = 0$ (*) qua các hố no cệ sệ mọi phương trình bậc ba tổng quát: ${a_0}{y^3} + {a_1}{y^2} + {a_2}y + {a_3} = 0,{a_0} ne 0$đều có thể đưa về dạng (*) nhờ phép biến đổi ẩn số $y = x – frac{{{a_1}}}{{3{a_0}}}$.công thức được viết như sau: $x = sqrt[3] { { – frac{q}{2} + sqrt {frac{{{q^2}}}{4} + frac{{{p^3}}}{{27}}} }} + sqrt[3]{{ – frac{q}{2} – sqrt {frac{{{q^2}}}{4} + frac{{{p^3}}}{{27} } }}} $ trong đó mỗi căn thức bậc bậc ba ở vế sau có giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trịc có tích bằng $ – fraud {p} {3} $ ể cộn vớì2) fleft( x right) = {left( {{x^2} + frac{1}{2}ax + frac{1}{2}t} right) ^2} – {left ( {px + q} right)^2}$ (4) vậy: $fleft( x right) = left( {{x^2} + frac{1} {2}ax + frac {1}{2}t + px + q} right)left( {{x^2} + frac{1}{2}ax + frac{1}{2} t – px + q} right) = 0$ từ đó: ${x^2} + left( {frac{1}{2}a + p} right)x + frac{1}{2}t + q = 0$ hoặc ${x^2} + left( {frac{1}{2}a – p} right)x + frac{1}{ 2}t – q = 0$ giải hai phương trình bậc hai này ta đuợc tập hợp nghiệm của (1): ${x_{1,2}} = – frac{1}{2 }left( {frac {1}{2}a + p} right) pm sqrt {{{left( {frac{1}{2}a + p} right)}^2} – 4q – 2t} $ và ${x_{3,4}} = – frac{1}{2}left( {frac{1}{2}a – p} right) pm sqrt { {{left( { frac{1}{2}a – p} right)}^2} + 4q – 2t} $ ví dụ 6. giải phương trình: ${x^ 4} – {x^3 } – 7{x^2} + x + 6 = 0$giải: dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc $h$: $4left( {h + frac{{ 29}}{4}} right)left( {frac{1}{4}{h^2} – 6} right) – {left( { – frac{ 1}{2}h – 1} right)^2} = 0$ tức ${h^3} + 7{h^2} – 25h – 175 = 0$ ta tìm đuợc một nghiệm thực $h$ của phương trình này là $h = 5 $ dựa vào (3) và với $h = t = 5,a = – 1,,b = – 7,c = 1,d = 6$ thì tính đuợc $p = frac{ 7}{2},q = frac{{ – 1}}{2}$ phương trình đã cho sẽ đuợc diễn đạt theo (4) là: $begin{array} {left( {{x^2} – fra c{1}{2}x + frac{5}{2}} right)^2} – {left( {frac{7}{2}x – frac{1}{2} } right)^2} = 0 \ leftrightarrow left( {{x^2} – frac{1}{2}x + frac{5}{2} + frac{7}{2} x – frac{1}{2}} right)left( {{x^2} – frac{1}{2}x + frac{5}{2} – frac{7}{2 }x + frac{1}{2}} right) = 0 \ end{array} $ thì đựơc tập nghiệm của phương trình đã cho là: $left{ { – 1; – 2;3;1} right}$4. phương pháp đồ thị.phương pháp:

Để giải phương trình bậc bốn ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ (1) bằng đồ thị, ta hãy đặt ${x^ 2} = y – mx$ phương trình (1) trở thành: ${y^2} – 2mxy + {m^2}{x^2} + axy – ax{m^2} + b{x^2} + cx + d = 0$ Để khử đuợc các số hạng có $xy$ trong phương trình này thì phải có: $ – 2m + a = 0$ và $m = frac{a}{2}$ vậy nếu đặt $ {x^2} = y – mx$ và $m = frac{a}{2}$ tức ${x^2} = y – frac{a}{2}x$ thì (1) trở thành: ${y^2} + frac{{{a^2}}}{4}{x^2} – frac{{{a^2}}}{2}{x^2} + b{x ^2} + cx + d = 0$ (2) thay ${x^2}$ bởi $y – frac{a}{2}x$ và biến đổi thì (2) trở thành ${x^2} + {y^2} + left( {frac{a}{2} + frac{{{a^3}}}{8} – frac{{ab}}{2} + c} right )x + left( {b – frac{{{a^2}}}{4} – 1} right)y + d = 0$ vậy phương trình (1) tương đuơng với hệ phương trình $left { begin{array} y = {x^4} + frac{a}{2}x,(3) \ {x^2} + {y^2} + left( {frac{a {2} + frac{{{a^3}}}{8} – frac{{ab}}{2} + c} right)x + left( {b – frac{{{a ^ 2}}}{4} – 1} right)y + d = 0,(4) \ end{array} right.$ do đó hoà nh độ các giao điểm của parabol, đồ thị (3) và của đuờng tròn, đồ thị của (4), là nghiệm của phương trình (1) đã cho nếu ^t my} $x2 = {frac} m ne 0)$ thì khi ấy nghiệm của phương trình (1) lại là hoành độ các giao điểm của hai parabol $y = frac{1}{m}{x^2} + frac {a}{{ 2m}}x$ và $x = frac{{{m^2}{y^2}}}{{frac{{ab}}{2} – frac{{{a^ 3}}}{ 8} – c}} + frac{{mleft( {b – frac{{{a^2}}}{4}} right)y}}{{frac{{ ab}}{2 } – frac{{{a^3}}}{3} – c}} + d$bÀi tẬp Áp dỤng: bây giờ, ta hãy vận dụng các phương pháp trên để giải các phương trình bậc bốn sau: $begin{array} 1){x^4} + 4{x^3} + 3{x^2} + 2x – 1 = 0, \ 2){x ^4} + 2 {x^3} + 5{x^2} + 4x – 12 = 0, \ 3)6{x^4} + 5{x^3} – 38{x^2} + 5x + 6 = 0, \ 4){x^4} + 5{x^3} – 12{x^2} + 5x + 1 = 0, \ 5){x^4} + 2{x^3 } – 2{x ^2} + 6x – 15 = 0. \ end{array} $