Duới đây là các thông tin và kiến thức về Bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ hay nhất và đầy đủ nhất
7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức có thể nói quan trọng nhất trong trương trình toán lớp 7 và pacác v.cẺ trong bài ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng biến đổi tương đương của chúng. ngoài ra sẽ luyện tập áp dụng các hằng đẳng thức vào làm những dạng bài tập cơ bản.
1. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
cho hai biểu thức a và b. từ hai biểu thức này, ta có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:
- (a + b)² = a² + 2ab + b ²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- (a + b)(a – b) = a² – b²
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3a² – b³
- (a + b)( a² – ab + b²) = a³ +b³
- (a – b)( a² + ab + b²) = a³ –b³
- (2x + 1)²
- (2x + 3y)²
- (x + 1)(x – 1)
- m² – n²
- (5x + 3yz)²
- (yx – 3ab)²
- (x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)
- (9x + 3)²
- (xy + 2yz)²
- (2x+1)² = 4x²+ 4x +1
- (2x+3y)² = 4x² + 2.2x,3y + 9y² = 4x² + 12x,y + 9y²
- (x+1)(x-1) = x²-1
- m² – n² = (m – n)(m + n)
- (5x+3yz)² = 25x² + 2.5x,3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²
- (yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²
- (x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x]xˆ4+27
- (9x+3)² = 81x² + 54x + 9
- (xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²
- a=(x+y)² – (x-y)²
- b = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²
- 153² + 94.153 + 47²
- 126² – 126,152 + 5776
- 153² + 94,153 + 47² = 153² + 2,47,153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000
- 126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2,126.76 + 76² = (126-76)² = 50²
- chú ý phép tính toán, nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, triển khai hằng đẳng thức. các bài toán yêu cầu viết lại biểu thức. (Cần lưu ý các quy tắc về nhân ơn đa thức và học thuộc 7 hằng ẳng thức đáng nhớ. Chú ý về dấu của số hạng và dấu của các phap toá.
- có thể vận dụng các tính chất về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để tìm ra
- bài tập về tìm giá trị nhỏ nhấc m t cuth.c m Chung ta thực hiện bước ầu tiên là biến ổi biểu thức yêu cầu vềng m = a² + b Trong đó a là một biểu thức chứa biến và b là một sốt sốt sốc một biểu thức số ộ ộ ộ Theo Tinh chất về bình phương của mọi số thực luôn không âm nên luôn luôn có² ≥ 0 với mọi giá trị của biến số, do đó a² + b ≥ b b ≥ b nên biểu thức có có giá trị nhỏt bằt bằt b. dấu = xảy ra khi a = 0.
- bài tập về tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức. biến đổi biểu thức yêu cầu về dạng m = -a² + b trong đó a là một biểu thức chứa biến và b là một số hoặc một biểu thức lp. Theo Tinh chất về bình phương của mọi số thực luôn không âm nên luôn luôn có² ≥ 0 với mọi giá trị của biến số, do đó -a² + b ≤ b dấu = xảy ra khi a=0.
chú ý: dựa vào 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên ta còn có thể biến đổi và suy ra các đẳng thức tương đương như sau:
từ hằng đẳng thức 1); two); 3) ta có thể mở rộng thêm các đẳng thức sau:
cau 1: tính:
a, (x + 2y)2
b, (x – 3y)(x + 3y)
c, (5 – x)2
lời giải:
a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2
c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2
cau 2: tính:
a, (x – 1)2
b, (3 – y)2
c, (x – 1/2)2
lời giải:
a, (x – 1)2 = x2 -2x + 1
b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2
c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4
câu 3: viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:
a, x2 + 6x + 9
b, x2 + x + 1/4
c,2xy2 + x2y4 + 1
lời giải:
a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2
b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2)2 = (x + 1/2)2
c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2
câu 4: rút gọn biểu thức:
a, (x + y)2 + (x – y)2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
lời giải:
a, (x + y)2 + (x – y)2
= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
= 2×2 + 2y2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4×2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2
= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2
câu 5: biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.
lời giải:
số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈n)
ta co: a2 = (5k + 4)2
= 25k2 + 40k + 16
= 25k2 + 40k + 15 + 1
= 5(5k2 + 8k +3) +1
ta co: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5
vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.
câu 6: tính giá trị của biểu thức sau:
a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13
b, x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 101
c, x3 + 9×2+ 27x + 27 tại x = 97
lời giải:
a, ta co: x2 – y2 = (x + y)(x – y)
b, that x = 87, y = 13, ta được:
x2 – y2 = (x + y)(x – y)
= (87 + 13)(87 – 13)
= 100.74 = 7400
c, cue: x3 + 9×2 + 27x + 27
= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33
= (x + 3)3
there are x = 97, so được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000
câu 7: chứng minh rằng:
a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3
b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3
c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2
lời giải:
a, ta co: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3
vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b, tab: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]
= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3
vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
c, ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2
= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)
= (a2 + b2)(c2 + d2)
vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
câu 8: chứng tỏ rằng:
a, x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x
b, 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x
lời giải:
a, ta co: x2 – 6x + 10 = x2 – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)2 + 1
vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)2 + 1 > 0 mọi x
vậy x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x.
b, wad: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1
vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.
suy ra: -(x – 2)2 -1 ≤ 0 với mọi x
vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.
câu 9: tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
a, p = x2 – 2x + 5
b, q = 2×2 – 6x
c, m = x2 + y2 – x + 6y + 10
lời giải:
a, ta co: p = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4
vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4
suy ra: p = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1
vậy p = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.
b, wad: q = 2×2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 – 9/4 )
= 2[(x – 2/3) – 9/4] = 2(x – 2/3)2 – 9/2
vì (x – 2/3 )2 ≥ 0 nên 2(x – 2/3 )2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2/3 )2 – 9/2 ≥ – 9/2
suy ra: q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x – 2/3 )2 = 0 ⇒ x = 2/3
vậy q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .
c, ta có: m = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)
= (y + 3)2 + (x2 – 2,1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4
vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2)2 ≥ 0
⇒ (y + 3)2 + (x – 12)2 + 3/4 ≥ 3/4
⇒ m = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0
⇒ y = -3 goes (x – 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2
vậy m = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2
*** tới như thuộc bảng cửu chương. học thuộc trước khi làm bài sẽ giúp chúng ta nhận diện dạng bài toán nhanh hơn và áp dụng đúng công thức để ra kết quả chả xác chúc các bạn đạt điểm cao trong các bài toán liên quan đến hằng đẳng thức.
⇒ a² +b² = (a-b)² – 2ab = (a+b)² – 2ab
2. bài tập vận dụng:
bài tập 1: sử dụng 7 hằng đẳng thức viết các biểu thức sau dưới dạng tổng
lời giải
bài tập 2: sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:
*cách 1: khai triển từng hằng số trong biểu thức b bằng hằng đẳng thức
(a ± b)² = a² ± 2ab+b²
a = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy
*cách 2: sử dụng hằng đẳng thức a²-b = (a + b)(a – b)
a=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy
*cách 1: khai triển từng hằng số trong biểu thức b bằng hằng đẳng thức
(a ± b)² = a² ± 2ab+b²
b = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²
*cup 2:
b = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²
bai tập 3: tính nhanh các biểu thức sau
lời giải:
